Curso de Teoria do Caos

Aula 1 • O Que É a Teoria do Caos

Introduz o surgimento histórico da teoria do caos e as suas premissas centrais. Estabelece o vocabulário utilizado ao longo do curso.

Aula 2 • Sensibilidade às Condições Iniciais

Explica o efeito borboleta e a divergência exponencial de trajetórias. Relaciona a sensibilidade com a imprevisibilidade em sistemas reais.

Aula 3 • Visão Geral dos Sistemas Não Lineares

Contrasta sistemas lineares e não lineares para mostrar por que os métodos padrão falham. Fundamenta os alunos no contexto matemático do comportamento caótico.

Aula 1 • Espaço de Estados e Retratos de Fase

Define variáveis de estado e espaço de fase como ferramentas para visualizar dinâmica. Relaciona a representação geométrica com a análise do comportamento do sistema.

Aula 2 • Bifurcações e Alterações de Parâmetros

Mostra como o comportamento qualitativo do sistema muda à medida que os parâmetros variam. Estabelece as bases para a compreensão das rotas para o caos.

Aula 3 • Ciclos Limite e Órbitas Periódicas

Introduz trajetórias fechadas como comportamento oscilatório sustentado. Distingue ciclos limite de órbitas conservativas.

Aula 4 • Fluxos em Dimensões Superiores

Estende conceitos de espaço de fase a três e mais dimensões. Prepara os alunos para a análise de atratores estranhos em capítulos posteriores.

Aula 1 • A Aplicação Logística em Profundidade

Usa a aplicação logística como o exemplo canónico do caos por duplicação de período. Os alunos traçam a sequência completa de bifurcações desde a ordem até ao caos.

Aula 2 • Introdução às Aplicações Iteradas

Define aplicações de tempo discreto e a sua iteração como ferramenta de modelação. Relaciona aplicações com secções de Poincaré de fluxos contínuos.

Aula 3 • Caos em Aplicações vs. Fluxos

Compara o comportamento caótico em aplicações e fluxos contínuos para unificar a compreensão. Reforça as ligações entre estruturas discretas e contínuas.

Aula 4 • Aplicações Bidimensionais e Ferraduras

Estende a dinâmica discreta a aplicações 2D que preservam área e dissipativas. Introduz a ferradura de Smale como um mecanismo geométrico para o caos.

Aula 1 • Medidas de Dimensão Fractal

Ensina métodos quantitativos para medir a dimensão fractal. Os alunos aplicam a contagem de caixas e a dimensão de correlação a dados de atratores.

Aula 2 • Outros Atratores Estranhos Clássicos

Examina os atratores de Rössler, Duffing e outros atratores estranhos conhecidos. Alarga o reconhecimento de estruturas caóticas pelos alunos entre disciplinas.

Aula 3 • Atratores em Sistemas Dissipativos

Define atratores como conjuntos de destino a longo prazo no espaço de fase. Distingue atratores pontuais, cíclicos, toroidais e estranhos.

Aula 4 • O Atrator de Lorenz

Analisa o sistema de Lorenz como o atrator estranho prototípico. Os alunos derivam equações, simulam trajetórias e interpretam a forma de borboleta.

Aula 1 • Conceito de Expoentes de Lyapunov

Define expoentes de Lyapunov como taxas médias de divergência de trajetórias. Relaciona expoentes positivos com dependência sensível e caos.

Aula 2 • Entropia e Perda de Informação

Introduz a entropia de Kolmogorov-Sinai como uma medida de caos baseada na teoria da informação. Relaciona a entropia com expoentes de Lyapunov através do teorema de Pesin.

Aula 3 • Cálculo de Expoentes para Aplicações

Deriva métodos analíticos e numéricos para aplicações unidimensionais. Os alunos calculam expoentes para a aplicação logística em vários valores de parâmetros.

Aula 4 • Dimensão de Kaplan-Yorke

Liga o espetro de Lyapunov à dimensão fractal do atrator através da fórmula de Kaplan-Yorke. Unifica as análises de expoentes e geometria.

Aula 1 • Rota de Duplicação de Período para o Caos

Detalha a cascata de duplicação de período de Feigenbaum como a rota mais comum. Os alunos traçam a sequência em aplicações e sistemas experimentais.

Aula 2 • Rota de Intermitência para o Caos

Explica a intermitência de Pomeau-Manneville como explosões de caos dentro da ordem. Os alunos classificam intermitência de Tipo I, II e III.

Aula 3 • Rota Quasiperiódica para o Caos

Descreve o cenário de Ruelle-Takens-Newhouse de quebra do toro. Os alunos identificam sinais quasiperiódicos e as suas assinaturas de transição.

Aula 4 • Crise e Transições Súbitas

Abrange crises de fronteira e interiores como mudanças abruptas no tamanho do atrator. Os alunos distinguem tipos de crise e as suas assinaturas observáveis.

Aula 1 • Caos em Sistemas de Engenharia

Analisa comportamento caótico em circuitos elétricos, vibrações mecânicas e sistemas de controlo. Destaca implicações do caos para a engenharia.

Aula 2 • Análise de Séries Temporais para Deteção de Caos

Ensina incorporação, gráficos de recorrência e testes de dados substitutos para dados reais. Os alunos aplicam ferramentas para identificar caos em séries temporais empíricas.

Aula 3 • Caos em Sistemas Físicos

Examina comportamento caótico em dinâmica de fluidos, mecânica e ótica. Fundamenta a teoria abstrata em fenómenos físicos bem documentados.

Aula 4 • Caos em Sistemas Económicos e Sociais

Explora evidências de dinâmica caótica em mercados financeiros e sistemas sociais. Avalia criticamente as alegações e os desafios metodológicos.

Aula 1 • Controlo de Feedback e Feedback Atrasado

Aborda o feedback atrasado de Pyragas como um método de controlo do caos não invasivo. Os alunos comparam estratégias de feedback para diferentes tipos de sistema.

Aula 2 • Aplicações da Sincronização do Caos

Aplica a sincronização a comunicações seguras e redes de sensores. Os alunos avaliam implementações práticas e considerações de segurança.

Aula 3 • Fundamentos da Sincronização do Caos

Define sincronização completa, de fase e generalizada entre sistemas caóticos. Estabelece condições sob as quais sistemas caóticos acoplados se sincronizam.

Aula 4 • Controlo do Caos: Método OGY

Introduz o método de Ott-Grebogi-Yorke para estabilizar órbitas periódicas instáveis. Os alunos aplicam pequenas perturbações para orientar trajetórias caóticas.