Curso de Álgebra Abstrata

Aula 1 • Operações Binárias e Propriedades

Define operações binárias e examina fechamento, associatividade, comutatividade e elemento neutro. Conecta propriedades operacionais aos axiomas de grupos e anéis.

Aula 2 • Introdução à Demonstração Matemática

Aborda demonstração direta, contrapositiva, contradição e indução. Capacita os alunos a construir e avaliar argumentos algébricos rigorosos ao longo do curso.

Aula 3 • Conjuntos, Relações e Funções

Revisa a notação de teoria dos conjuntos, relações de equivalência e tipos de funções. Fornece o arcabouço lógico para definir estruturas algébricas de forma rigorosa.

Aula 1 • Classes Laterais e Teorema de Lagrange

Desenvolve classes laterais à esquerda e à direita, demonstra o teorema de Lagrange e deriva o índice. Estabelece a restrição fundamental sobre as ordens de subgrupos em grupos finitos.

Aula 2 • Homomorfismos de Grupos

Define homomorfismos, núcleos e imagens, e demonstra propriedades básicas. Apresenta o conceito de morfismo que unifica todas as estruturas algébricas estudadas posteriormente.

Aula 3 • Definição e Exemplos de Grupos

Enuncia os axiomas de grupo e examina exemplos canônicos, incluindo inteiros, simetrias e grupos de matrizes. Fundamenta definições abstratas em contextos concretos e familiares.

Aula 4 • Grupos Cíclicos e Sua Estrutura

Classifica grupos cíclicos a menos de isomorfismo e analisa seu reticulado de subgrupos. Fornece o primeiro resultado de classificação estrutural completa do curso.

Aula 1 • Os Teoremas de Isomorfismo

Enuncia e demonstra o primeiro, segundo e terceiro teoremas de isomorfismo. Fornece as principais ferramentas para comparar estruturas de grupos e simplificar a análise de homomorfismos.

Aula 2 • Construção de Grupos Quocientes

Constrói o grupo quociente G/N e verifica os axiomas de grupo. Demonstra como a fatoração por um subgrupo normal cria um novo grupo mais simples.

Aula 3 • Grupos Simples e Séries de Composição

Define grupos simples e séries de composição, e enuncia o teorema de Jordan-Hölder. Apresenta o conceito de blocos construtivos irredutíveis de grupos finitos.

Aula 1 • Ações de Grupos em Conjuntos

Define ações de grupos, órbitas e estabilizadores, e demonstra o teorema órbita-estabilizador. Unifica conjugação, multiplicação de classes laterais e simetria como instâncias de um único arcabouço.

Aula 2 • Lema de Burnside e Contagem

Aplica o lema de Burnside para contar órbitas em contextos combinatórios. Demonstra o poder das ações de grupos na resolução de problemas de enumeração.

Aula 3 • Ação de Conjugação e Equação das Classes

Analisa a conjugação como uma ação de grupo e deriva a equação das classes. Usa a equação das classes para demonstrar propriedades de p-grupos.

Aula 4 • Classificação de Grupos de Ordem Pequena

Aplica a teoria de Sylow para classificar grupos de ordens até 30. Sintetiza todas as ferramentas da teoria de grupos em uma metodologia sistemática de classificação.

Aula 1 • Domínios de Integridade e Corpos

Caracteriza domínios de integridade, corpos e a construção do corpo de frações. Prepara os alunos para anéis de polinômios e extensões de corpos em capítulos posteriores.

Aula 2 • Anéis: Axiomas e Exemplos Básicos

Define anéis, anéis comutativos e anéis com unidade, examinando inteiros, polinômios e matrizes. Estabelece o arcabouço de duas operações que estende a teoria de grupos.

Aula 3 • Ideais Primos e Maximais

Define ideais primos e maximais e os caracteriza por meio de propriedades de anéis quocientes. Conecta tipos de ideais a domínios de integridade e corpos.

Aula 4 • Anéis Quocientes e Homomorfismos

Constrói anéis quocientes R/I e demonstra os teoremas de isomorfismo para anéis. Paralela a construção de quocientes de grupos e estende o arcabouço dos teoremas de isomorfismo.

Aula 1 • Domínios de Fatoração Única

Demonstra que todo DIP é um DFU e analisa irredutíveis vs. primos. Estabelece o análogo algébrico do teorema fundamental da aritmética.

Aula 2 • Domínios Euclidianos e DIPs

Define domínios euclidianos e domínios de ideais principais e demonstra a cadeia de inclusões DE⊂DIP⊂DFU. Fornece a hierarquia estrutural para a teoria de fatoração.

Aula 3 • Critérios de Irredutibilidade

Desenvolve testes de irredutibilidade, incluindo raiz racional, Eisenstein e redução módulo p. Capacita os alunos a determinar se um polinômio fatora sobre um dado corpo.

Aula 4 • Lema de Gauss e Aplicações

Demonstra o lema de Gauss sobre polinômios primitivos e o aplica à fatoração sobre Z vs. Q. Conecta a fatoração de polinômios sobre inteiros e racionais.

Aula 1 • Extensões de Corpos: Fundamentos

Define extensões de corpos, elementos algébricos e transcendentes, e o grau [E:F]. Apresenta a lei da torre como a principal ferramenta multiplicativa para graus de extensão.

Aula 2 • Solubilidade por Radicais

Define extensões radicais e grupos solúveis, e demonstra o teorema de Abel-Ruffini. Demonstra por que polinômios de grau 5 são geralmente insolúveis por radicais.

Aula 3 • Corpos de Decomposição e Fecho Algébrico

Constrói corpos de decomposição para polinômios e enuncia a existência de fechos algébricos. Fornece o ambiente no qual todas as raízes de um polinômio coexistem.

Aula 4 • O Grupo de Galois e a Correspondência

Define o grupo de Galois Gal(E/F) e demonstra o teorema fundamental da teoria de Galois. Estabelece a bijeção entre corpos intermediários e subgrupos do grupo de Galois.

Aula 1 • Aplicações a Grupos Abelianos

Aplica o teorema da estrutura para classificar todos os grupos abelianos finitamente gerados. Demonstra o poder do teorema como uma ferramenta de classificação completa.

Aula 2 • Módulos Sobre Anéis

Define R-módulos à esquerda, submódulos e homomorfismos de módulos. Posiciona os módulos como a generalização comum de grupos abelianos e espaços vetoriais.

Aula 3 • Teorema da Estrutura para Módulos Sobre DIPs

Demonstra o teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre DIPs nas formas de fatores invariantes e divisores elementares. Unifica a classificação de grupos abelianos e formas canônicas.

Aula 4 • Sequências Exatas e Módulos Projetivos

Introduz sequências exatas curtas, sequências cindidas e módulos projetivos. Fornece a linguagem para descrever extensões de módulos e decomposições em soma direta.