Curso de Análise Matemática

Aula 1 • Técnicas e Estratégias de Demonstração

Apresenta demonstração direta, por contradição, contraposição e indução. Constrói o conjunto de ferramentas que os alunos aplicam ao verificar cada resultado analítico.

Aula 2 • Estrutura Axiomática dos Números Reais

Apresenta os axiomas de corpo, de ordem e o axioma da completude. Esses axiomas fundamentam todo teorema sobre limites, continuidade e integração.

Aula 3 • Funções e Cardinalidade

Define injeções, sobrejeções e bijeções e, em seguida, classifica conjuntos infinitos. Conceitos de cardinalidade reaparecem ao estudar uniões enumeráveis e medida.

Aula 1 • Sequências Monótonas e Subsequências

Estabelece o teorema da convergência monótona e o teorema de Bolzano-Weierstrass. Esses resultados são fundamentais para a convergência de séries e argumentos de compacidade.

Aula 2 • Leis de Limite e Operações Algébricas

Demonstra as regras de soma, produto e quociente para limites de sequências. Permite o cálculo eficiente de limites sem repetir argumentos épsilon-N a cada vez.

Aula 3 • Convergência e a Definição Épsilon-N

Formaliza o significado de uma sequência convergir usando épsilon-N. Conecta as noções intuitivas de proximidade ao axioma da completude apresentado anteriormente.

Aula 1 • Continuidade e Tipos de Descontinuidade

Define continuidade pontual e uniforme e classifica descontinuidades removíveis, de salto e essenciais. Prepara os alunos para a teoria da integração que requer condições de continuidade.

Aula 2 • Teoremas Fundamentais sobre Funções Contínuas

Demonstra o teorema do valor intermediário e o teorema do valor extremo. Esses resultados justificam algoritmos de busca de raízes e métodos de otimização usados em capítulos aplicados.

Aula 3 • Continuidade Uniforme e Extensões

Aprofunda a continuidade uniforme com o teorema de Heine-Cantor e resultados de extensão. Conecta-se à integração, mostrando que funções uniformemente contínuas são Riemann integráveis.

Aula 1 • Teorema de Taylor e Aproximação

Deriva o teorema de Taylor com as formas de resto de Lagrange e Peano. Os alunos usam aproximações polinomiais para estimar valores de funções e analisar o comportamento local.

Aula 2 • Regras de Diferenciação e Derivadas de Ordem Superior

Demonstra rigorosamente as regras da soma, produto, quociente e da cadeia. Derivadas de ordem superior são introduzidas em preparação para as expansões em série de Taylor.

Aula 3 • Teoremas do Valor Médio e Aplicações

Demonstra o teorema de Rolle, o teorema do valor médio e a forma generalizada de Cauchy. Esses teoremas fundamentam testes de monotonicidade, cotas de erro e a regra de L'Hopital.

Aula 4 • Regra de L'Hopital e Formas Indeterminadas

Demonstra a regra de L'Hopital usando o teorema do valor médio de Cauchy e a aplica a todas as formas indeterminadas. Reforça a interação entre limites e derivadas.

Aula 1 • Propriedades da Integral de Riemann

Estabelece a linearidade, a monotonicidade e a aditividade da integral em subintervalos. Essas propriedades são usadas repetidamente em capítulos sobre séries e integrais impróprias.

Aula 2 • Classes de Funções Integráveis

Demonstra que funções contínuas e monótonas são Riemann integráveis. Identifica funções com um número finito de descontinuidades como integráveis, expandindo a classe aplicável.

Aula 3 • Integrais Impróprias e Convergência

Estende a integral de Riemann para intervalos ilimitados e integrandos ilimitados. Testes de convergência para integrais impróprias preparam os alunos para a análise de séries e de Fourier.

Aula 4 • Partições, Somas Superior e Inferior

Define partições, somas de Darboux e a integral de Riemann através da construção ínfimo-supremo. Fundamenta a integração na completude dos reais estabelecida anteriormente.

Aula 1 • Séries, Somas Parciais e Testes Básicos

Define a convergência de séries via somas parciais e demonstra o teste da divergência e a fórmula da série geométrica. Conecta séries à convergência de sequências estudada no Capítulo 2.

Aula 2 • Convergência Absoluta e Condicional

Distingue a convergência absoluta da condicional e demonstra o teorema do rearranjo de Riemann. Destaca a diferença estrutural entre os dois tipos de convergência.

Aula 3 • Testes da Razão, da Raiz e de Séries Alternadas

Estabelece os testes da razão e da raiz usando limite superior e demonstra o teste das séries alternadas. Os alunos aprendem a selecionar o teste mais eficiente para uma dada série.

Aula 4 • Séries de Potências e Raio de Convergência

Define séries de potências, calcula raios de convergência e demonstra a diferenciação e integração termo a termo. Estabelece a base para o capítulo sobre funções analíticas.

Aula 1 • Teoremas de Preservação Sob Convergência Uniforme

Demonstra que limites uniformes de funções contínuas são contínuos e que limites e integrais podem ser permutados. Esses teoremas justificam as operações termo a termo em séries.

Aula 2 • Convergência Pontual e Uniforme

Define convergência pontual e uniforme e as contrasta com exemplos. A convergência uniforme é identificada como a condição necessária para permutar limites e operações.

Aula 3 • Teorema da Aproximação de Weierstrass

Enuncia e demonstra o teorema da aproximação de Weierstrass usando polinômios de Bernstein. Demonstra que funções contínuas em intervalos fechados são uniformemente aproximáveis por polinômios.

Aula 4 • Funções Analíticas e Séries de Taylor

Define funções analíticas como aquelas iguais à sua série de Taylor e identifica condições para a validade da série de Taylor. Estende a teoria de diferenciação para funções infinitamente diferenciáveis.

Aula 1 • Compacidade em Espaços Métricos

Caracteriza a compacidade via compacidade sequencial e limitação total. Demonstra o teorema de Heine-Borel no espaço euclidiano como um caso especial.

Aula 2 • Conexidade e Aplicações Contrativas

Define espaços métricos conexos e conexos por caminhos e demonstra o teorema do ponto fixo de Banach. O princípio da contração tem aplicações diretas em equações diferenciais.

Aula 3 • Espaços Métricos: Definições e Exemplos

Introduz os axiomas de espaço métrico e examina exemplos chave, incluindo espaços euclidiano, discreto e de funções. Fornece a estrutura abstrata que subsume a análise da reta real.

Aula 4 • Convergência e Completude em Espaços Métricos

Estende sequências de Cauchy e completude para espaços métricos e demonstra o teorema da categoria de Baire. Mostra-se que a completude é uma propriedade métrica, não topológica.