Curso de Cálculo Estocástico

Aula 1 • Variáveis Aleatórias e Distribuições

Define variáveis aleatórias como funções mensuráveis e caracteriza suas distribuições. Conecta a teoria abstrata da medida ao cálculo probabilístico prático.

Aula 2 • Teoria da Medida e Espaços de Probabilidade

Introduz sigma-álgebras, conjuntos mensuráveis e medidas de probabilidade como a base formal para a aleatoriedade. Estabelece a linguagem usada em todos os capítulos subsequentes.

Aula 3 • Esperança e Integração

Desenvolve a integral de Lebesgue como a definição rigorosa de esperança. Fornece ferramentas para calcular momentos e aplicar teoremas de convergência.

Aula 4 • Modos de Convergência

Distingue convergência quase certa, em probabilidade e Lp e suas relações. Capacita os alunos a analisar o comportamento limite de sequências estocásticas.

Aula 1 • Processos de Markov e Núcleos de Transição

Introduz a propriedade de Markov e núcleos de transição como uma classe especial de processos estocásticos. Fornece contexto para processos de difusão estudados posteriormente.

Aula 2 • Filtrações e Processos Adaptados

Formaliza filtrações como famílias crescentes de sigma-álgebras representando informação ao longo do tempo. Introduz processos adaptados e progressivamente mensuráveis.

Aula 3 • Martingales em Tempo Discreto

Desenvolve martingales, submartingales e supermartingales em tempo discreto com desigualdades-chave. Constrói intuição antes da extensão para tempo contínuo em capítulos posteriores.

Aula 4 • Processos Gaussianos

Caracteriza processos gaussianos através de suas funções de média e covariância. Estabelece a base para o movimento browniano como o processo gaussiano canônico.

Aula 1 • Propriedades das Trajetórias do Movimento Browniano

Analisa a continuidade Hölder, a não diferenciabilidade em nenhum ponto e a variação ilimitada. Essas propriedades motivam a necessidade de uma nova teoria de integração.

Aula 2 • Construção do Movimento Browniano

Apresenta a construção de Wiener e a expansão em série de Levy-Ciesielski. Demonstra a existência e fornece intuição sobre a natureza irregular das trajetórias.

Aula 3 • Movimento Browniano Multidimensional e Transformado

Estende o movimento browniano para múltiplas dimensões e introduz transformações-chave. Prepara os alunos para equações diferenciais estocásticas com valores vetoriais.

Aula 4 • Movimento Browniano como Martingale

Estabelece o movimento browniano e suas transformações-chave como martingales. Conecta as propriedades das trajetórias ao arcabouço de martingales desenvolvido anteriormente.

Aula 1 • Integral de Ito para Processos Simples

Define a integral de Ito para processos elementares por etapas e estabelece a isometria. Fornece a base rigorosa a partir da qual a integral geral é estendida.

Aula 2 • Propriedades da Integral de Ito

Deriva linearidade, adaptabilidade, continuidade e a variação quadrática das integrais de Ito. Equipa os alunos com ferramentas para manipular integrais estocásticas em aplicações.

Aula 3 • Limitações da Integração Clássica

Demonstra por que a integração de Riemann-Stieltjes falha para trajetórias do movimento browniano. Motiva a construção de uma nova integral adequada a integradores de variação ilimitada.

Aula 4 • Integral de Ito com Respeito a Martingales Gerais

Generaliza a integral de Ito além do movimento browniano para martingales quadrado integráveis. Amplia o arcabouço para aplicações a processos de salto e semimartingales gerais.

Aula 1 • Fórmula de Itô Multidimensional

Estende a fórmula de Itô para funções de múltiplos processos de Itô. Permite a diferenciação de processos com valores vetoriais e termos de variação cruzada.

Aula 2 • Processos de Itô e Diferenciais Estocásticos

Define processos de Itô como soluções de equações diferenciais estocásticas na forma integral. Introduz a notação diferencial usada em todo o cálculo estocástico aplicado.

Aula 3 • Integração por Partes e Regra do Produto Estocástica

Deriva a fórmula de integração por partes estocástica e suas aplicações. Fornece ferramentas para transformar e simplificar expressões de integrais estocásticas.

Aula 4 • Fórmula de Itô em Uma Dimensão

Deriva a fórmula de Itô unidimensional via expansão de Taylor e variação quadrática. Estabelece a regra fundamental do cálculo para processos estocásticos.

Aula 1 • Martingales Locais e Semimartingales

Define martingales locais via sequências de localização e introduz semimartingales. Amplia a classe de processos para os quais a integração estocástica é definida.

Aula 2 • Martingales em Tempo Contínuo

Estende a teoria dos martingales para tempo contínuo, abordando resultados de regularidade e decomposição. Fornece a espinha dorsal teórica para o cálculo estocástico em tempo contínuo.

Aula 3 • Teorema de Girsanov

Deriva o teorema de Girsanov para alterar a deriva de um movimento browniano via mudança de medida. Permite a transformação de EDEs para formas mais simples sob uma medida equivalente.

Aula 4 • Aplicações do Teorema de Girsanov

Aplica mudanças de medida ao apreçamento neutro ao risco, filtragem e análise de EDEs. Demonstra o poder prático do teorema de Girsanov em múltiplos domínios.

Aula 1 • Dependência de Condições Iniciais e Parâmetros

Analisa como as soluções de EDEs variam com dados iniciais e parâmetros, incluindo propriedades de fluxo. Prepara os alunos para análise de sensibilidade e aplicações de controle.

Aula 2 • Formulação e Exemplos de EDEs

Define EDEs na forma integral e apresenta exemplos canônicos incluindo o movimento browniano geométrico. Conecta o arcabouço abstrato a cenários concretos de modelagem.

Aula 3 • Existência e Unicidade de Soluções Fortes

Prova existência e unicidade sob condições de Lipschitz e crescimento linear. Estabelece a base teórica para confiar nas soluções de EDEs em aplicações.

Aula 4 • Soluções Fracas e Problemas de Martingale

Introduz soluções fracas e a formulação do problema de martingale para EDEs. Estende o conceito de solução para casos onde soluções fortes podem não existir.

Aula 1 • Fórmula de Feynman-Kac

Deriva a fórmula de Feynman-Kac ligando EDPs parabólicas a esperanças condicionais. Fornece uma ferramenta probabilística para resolver EDPs e precificar derivativos financeiros.

Aula 2 • Geradores de Processos de Difusão

Define o gerador infinitesimal de uma difusão e o calcula para processos padrão. Conecta o gerador aos coeficientes de deriva e difusão da EDE.

Aula 3 • Ergodicidade e Comportamento de Longo Prazo

Analisa propriedades ergódicas de difusões e convergência para distribuições estacionárias. Fornece ferramentas para simulação de longo prazo e inferência estatística em difusões.

Aula 4 • Equações Progressiva e Regressiva de Kolmogorov

Deriva as equações regressiva de Kolmogorov e progressiva de Fokker-Planck para densidades de transição. Estabelece a perspectiva das EDPs sobre a dinâmica de difusão.