Curso de Equações Diferenciais para Engenheiros

Aula 1 • Revisão de Pré-requisitos Matemáticos

Revisa ferramentas de cálculo e álgebra necessárias para resolver EDOs. Garante que os alunos possam diferenciar, integrar e manipular expressões com fluência.

Aula 2 • O Que São Equações Diferenciais

Apresenta a definição de uma equação diferencial e seus componentes. Estabelece o vocabulário usado ao longo do curso.

Aula 3 • Problemas de Valor Inicial e de Contorno

Diferencia PVIs de PVCs e apresenta condições de existência e unicidade. Conecta a formulação do problema a restrições físicas de engenharia.

Aula 4 • Classificação e Terminologia

Categoriza EDOs por linearidade, homogeneidade e autonomia. A classificação correta orienta a seleção da estratégia de solução.

Aula 1 • Equações Separáveis

Ensina separação de variáveis como a técnica mais direta de primeira ordem. Os alunos a aplicam a problemas de crescimento exponencial, decaimento e mistura.

Aula 2 • Equações de Bernoulli e Riccati

Reduz equações não lineares de Bernoulli e Riccati à forma linear via substituição. Amplia o conjunto de ferramentas para problemas não lineares de primeira ordem.

Aula 3 • Equações Lineares de Primeira Ordem

Apresenta o método do fator integrante para EDOs lineares. Conecta a técnica a modelos de engenharia de circuitos RC e escoamento de fluidos.

Aula 4 • Equações Exatas e Fatores Integrantes

Identifica equações exatas pela condição de exatidão e constrói funções potenciais. Estende-se a casos não exatos usando fatores integrantes.

Aula 1 • Equações Não Homogêneas: Coeficientes a Determinar

Aplica o método dos coeficientes a determinar para encontrar soluções particulares. Aborda funções de forçamento polinomiais, exponenciais e senoidais.

Aula 2 • Equações de Cauchy-Euler

Resolve equações de Cauchy-Euler com coeficientes variáveis via substituição por potência. Conecta-se a aplicações de deflexão de vigas e mecânica dos fluidos.

Aula 3 • Variação dos Parâmetros

Deduz soluções particulares para funções de forçamento arbitrárias usando variação dos parâmetros. Estende a aplicabilidade além dos coeficientes a determinar.

Aula 4 • Modelagem de Vibrações Mecânicas

Traduz sistemas massa-mola-amortecedor em EDOs de segunda ordem. Os alunos interpretam fisicamente as respostas de vibração livre, amortecida e forçada.

Aula 1 • Definição e Propriedades Básicas

Define a transformada de Laplace via a integral imprópria e estabelece a linearidade. Os alunos calculam transformadas de funções padrão de engenharia.

Aula 2 • Funções Degrau e Forçamento Descontínuo

Modela forçamento por partes usando a função degrau de Heaviside e o segundo teorema do deslocamento. Aplica-se a sistemas elétricos e mecânicos chaveados.

Aula 3 • Transformada Inversa de Laplace

Recupera soluções no domínio do tempo usando frações parciais e tabelas de transformadas. Aborda polos simples, repetidos e complexos.

Aula 4 • Transformada de Derivadas e PVIs

Deduz regras de transformada para derivadas primeira e de ordem superior. Os alunos convertem PVIs diretamente em equações algébricas no domínio s.

Aula 1 • Análise do Plano de Fase

Classifica equilíbrios de sistemas lineares bidimensionais usando traço e determinante. Os alunos esboçam retratos de fase e interpretam o comportamento do sistema.

Aula 2 • Conversão de EDOs de Ordem Superior em Sistemas

Reescreve EDOs de ordem n como sistemas de primeira ordem via variáveis de estado. Estabelece a forma matricial usada ao longo do capítulo.

Aula 3 • Sistemas Não Homogêneos

Estende a variação dos parâmetros a sistemas com termos de forçamento. Os alunos resolvem problemas de osciladores acoplados e circuitos excitados.

Aula 4 • Exponencial Matricial e Matriz Fundamental

Define a exponencial matricial e a matriz solução fundamental. Fornece uma estrutura unificada para sistemas homogêneos e não homogêneos.

Aula 1 • Visão Geral da Teoria de Sturm-Liouville

Enquadra problemas de autovalor na forma de Sturm-Liouville e estabelece a ortogonalidade das autofunções. Prepara os alunos para séries de Fourier e expansões em EDPs.

Aula 2 • Equação de Bessel e Funções de Bessel

Deduz as funções de Bessel de primeiro e segundo tipo a partir da equação de Bessel. Aplica-as à condução de calor em cilindros e membranas vibrantes.

Aula 3 • Equação de Legendre e Polinômios

Resolve a equação de Legendre e identifica soluções polinomiais. Conecta-se a problemas de coordenadas esféricas em eletromagnetismo e escoamento de fluidos.

Aula 4 • Método de Frobenius em Pontos Singulares Regulares

Aplica o método de Frobenius quando a origem é um ponto singular regular. Lida com raízes da equação indicial que diferem por um número inteiro.

Aula 1 • Classificação de EDPs de Segunda Ordem

Classifica EDPs como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas usando o discriminante. Liga cada classe a fenômenos físicos e métodos de solução apropriados.

Aula 2 • Equação de Laplace e Problemas de Estado Estacionário

Resolve a equação de Laplace bidimensional em domínios retangulares e circulares. Modela distribuições de temperatura em estado estacionário e potencial eletrostático.

Aula 3 • Séries de Fourier e Expansões Ortogonais

Representa funções periódicas e por partes como séries de Fourier. Estabelece a ferramenta necessária para solução de EDP por expansão em autofunções.

Aula 4 • Equação do Calor: Separação de Variáveis

Resolve a equação do calor unidimensional com condições de contorno homogêneas. Os alunos interpretam a evolução da distribuição de temperatura ao longo do tempo.

Aula 1 • Métodos Numéricos para Sistemas e PVCs

Estende Runge-Kutta a sistemas de primeira ordem e aplica métodos de tiro e diferenças finitas a PVCs. Aborda problemas de valor de contorno de dois pontos.

Aula 2 • Métodos de Diferenças Finitas para EDPs

Discretiza as equações do calor e da onda usando diferenças finitas. Os alunos analisam estabilidade via condição de Courant-Friedrichs-Lewy.

Aula 3 • Métodos de Euler e Euler Melhorado

Deduz o método de Euler a partir da expansão de Taylor e o melhora com a abordagem preditor-corretor. Os alunos quantificam o erro de truncamento local e global.

Aula 4 • Métodos de Múltiplos Passos

Apresenta os métodos de Adams-Bashforth e Adams-Moulton como alternativas eficientes aos resolvedores de passo único. Analisa consistência, estabilidade e convergência.