Corso di metodi numerici

Lezione 1 • Stabilità degli Algoritmi e Condizionamento

Definisce la stabilità numerica e i numeri di condizionamento per i problemi. Prepara gli studenti a valutare l'affidabilità di un algoritmo prima della sua implementazione.

Lezione 2 • Configurazione dell'Ambiente di Programmazione

Configura un ambiente di calcolo scientifico usando un linguaggio di alto livello. Garantisce che tutti gli studenti possano implementare e testare gli algoritmi a partire dal capitolo due.

Lezione 3 • Complessità Computazionale ed Efficienza

Introduce la notazione O-grande e il conteggio delle operazioni per gli algoritmi numerici. Consente il confronto dei costi tra metodi concorrenti.

Lezione 4 • Rappresentazione dei Numeri in Virgola Mobile

Spiega lo standard IEEE 754 e l'epsilon di macchina. Collega i limiti di rappresentazione alla perdita pratica di precisione nel calcolo.

Lezione 1 • Metodi di Bisezione e di Bracketing

Tratta il metodo di bisezione e le sue proprietà di convergenza garantita. Introduce il concetto di bracketing come fondamento per ricercatori di zeri più avanzati.

Lezione 2 • Sistemi di Equazioni Non Lineari

Estende la ricerca di zeri scalare a sistemi multivariati usando il metodo di Newton con le matrici jacobiane. Prepara gli studenti per problemi non lineari nei capitoli applicativi successivi.

Lezione 3 • Metodi delle Secanti e Quasi-Newton

Presenta alternative senza derivate al metodo di Newton. Confronta la convergenza superlineare con il costo del calcolo delle derivate.

Lezione 4 • Iterazione di Punto Fisso

Riformula le equazioni come problemi di punto fisso e analizza la convergenza. Costruisce l'intuizione per schemi iterativi usati nei capitoli successivi.

Lezione 1 • Eliminazione di Gauss e Sostituzione all'Indietro

Implementa la riduzione per righe alla forma triangolare superiore e la sostituzione all'indietro. Stabilisce il risolutore diretto di base per tutti i successivi metodi matriciali.

Lezione 2 • Metodi Iterativi per Sistemi Lineari

Presenta i metodi di Jacobi, Gauss-Seidel e del gradiente coniugato per grandi sistemi sparsi. Analizza i criteri di convergenza e confronta il costo con i metodi diretti.

Lezione 3 • Strutture Matriciali Speciali

Sfrutta simmetria, definitezza positiva e sparsità per ridurre il costo computazionale. Introduce la fattorizzazione di Cholesky e i risolutori per matrici a bande.

Lezione 4 • Norme Matriciali e Numeri di Condizionamento

Quantifica la sensibilità della soluzione usando norme matriciali e numeri di condizionamento. Applica direttamente i concetti di analisi dell'errore del capitolo uno ai sistemi lineari.

Lezione 1 • Interpolazione con Spline Cubiche

Costruisce spline cubiche a tratti con condizioni di continuità. Dimostra una regolarità superiore rispetto ai polinomi globali di grado elevato.

Lezione 2 • Analisi dell'Errore di Interpolazione

Deriva il limite dell'errore di interpolazione e identifica il fenomeno di Runge. Motiva l'uso dei nodi di Chebyshev per minimizzare l'errore massimo.

Lezione 3 • Interpolazione di Hermite e Osculatoria

Estende l'interpolazione per eguagliare i valori delle derivate nei nodi. Fornisce la base teorica per la costruzione delle spline cubiche nella sezione successiva.

Lezione 4 • Tecniche di Interpolazione Multivariata

Estende l'interpolazione a griglie bidimensionali usando metodi bilineari e bicubici. Prepara gli studenti per applicazioni di EDP numeriche e scienza dei dati.

Lezione 1 • Quadratura Gaussiana

Seleziona coppie ottimali di nodi e pesi per massimizzare l'esattezza polinomiale. Dimostra un'accuratezza superiore rispetto a Newton-Cotes per integrandi regolari.

Lezione 2 • Estrapolazione di Richardson e Integrazione di Romberg

Applica l'estrapolazione di Richardson per eliminare sistematicamente i termini d'errore principali. Costruisce la tavola di Romberg per un'integrazione ad alta accuratezza con valutazioni minime di funzione.

Lezione 3 • Formule alle Differenze Finite

Deriva le approssimazioni alle differenze in avanti, all'indietro e centrate dalla serie di Taylor. Stabilisce l'accuratezza del primo e del secondo ordine per la stima delle derivate.

Lezione 4 • Formule di Quadratura di Newton-Cotes

Sviluppa le formule dei trapezi, di Simpson e di Newton-Cotes di ordine superiore. Deriva le forme composte e i loro termini d'errore per l'integrazione pratica.

Lezione 1 • Sistemi di EDO ed Equazioni di Ordine Superiore

Converte EDO di ordine superiore in sistemi del primo ordine e applica risolutori vettoriali. Prepara gli studenti per le semi-discretizzazioni di EDP accoppiate nel prossimo capitolo.

Lezione 2 • Metodi di Runge-Kutta

Sviluppa il metodo RK4 classico e la sua famiglia tramite i tableau di Butcher. Bilancia accuratezza e costo di valutazione della funzione per problemi non stiff.

Lezione 3 • Metodi Multistep

Presenta gli schemi predittore-correttore di Adams-Bashforth e Adams-Moulton. Confronta l'efficienza rispetto ai metodi a passo singolo per integrazioni regolari su tempi lunghi.

Lezione 4 • Analisi di Stabilità e Sistemi Stiff

Definisce le regioni di stabilità assoluta e identifica le EDO stiff. Motiva i risolutori impliciti come le formule di differenziazione all'indietro per problemi stiff.

Lezione 1 • Differenze Finite per EDP Paraboliche

Applica schemi espliciti e impliciti all'equazione del calore. Deriva il metodo di Crank-Nicolson e la sua accuratezza del secondo ordine nel tempo e nello spazio.

Lezione 2 • Classificazione e Discretizzazione delle EDP

Classifica le EDP come ellittiche, paraboliche o iperboliche e seleziona strategie di discretizzazione appropriate. Collega i metodi per EDO del capitolo sei al metodo delle linee.

Lezione 3 • EDP Iperboliche ed Equazioni d'Onda

Risolve le equazioni di avvezione e d'onda usando schemi upwind e di Lax-Wendroff. Analizza la diffusione e la dispersione numerica come metriche chiave di accuratezza.

Lezione 4 • Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti

Introduce la formulazione debole e il metodo degli elementi finiti di Galerkin per problemi ai limiti 1D. Fornisce un ponte concettuale verso corsi FEM avanzati.

Lezione 1 • Ottimizzazione Vincolata e Non Lineare

Introduce i moltiplicatori di Lagrange, i metodi di penalità e la programmazione quadratica sequenziale. Prepara gli studenti a risolvere problemi di progettazione ingegneristica e di adattamento dei dati con vincoli.

Lezione 2 • Decomposizione ai Valori Singolari

Calcola la SVD e la applica alla determinazione del rango, alla pseudoinversa e alla compressione dei dati. Fornisce lo strumento più robusto per problemi ai minimi quadrati mal condizionati.

Lezione 3 • Fattorizzazione QR e Metodi Ortogonali

Decompone matrici tramite Gram-Schmidt e riflessioni di Householder per minimi quadrati stabili. Dimostra una stabilità numerica superiore rispetto alle equazioni normali.

Lezione 4 • Metodi di Ottimizzazione Non Vincolata

Applica la discesa del gradiente, il metodo di Newton e gli aggiornamenti quasi-Newton per minimizzare funzioni regolari. Analizza i tassi di convergenza e le strategie di ricerca di linea.