Corso sulle Equazioni Differenziali Non Lineari

Lezione 1 • Classificazione e forme standard

Si categorizzano le ODE non lineari per ordine, tipo e struttura. Viene fornita una tassonomia che gli studenti applicano quando scelgono i metodi di soluzione.

Lezione 2 • Teoremi di esistenza e unicità

Si presentano i teoremi di Picard-Lindelöf e di Peano per le equazioni non lineari. Gli studenti verificano le condizioni prima di tentare soluzioni analitiche o numeriche.

Lezione 3 • Interpretazione geometrica delle soluzioni

Si introducono i campi di direzioni e le curve integrali come strumenti visivi. Si collega la struttura algebrica al comportamento della soluzione nel piano delle fasi.

Lezione 1 • Equazioni di Bernoulli e di Riccati

Si trasformano le equazioni di Bernoulli e di Riccati in forme lineari tramite sostituzione. Si dimostra come la sostituzione riduca la complessità.

Lezione 2 • Derivazione implicita e soluzioni parametriche

Si trattano equazioni risolvibili solo in forma parametrica o implicita. Si preparano gli studenti alle soluzioni singolari e alla teoria degli inviluppi.

Lezione 3 • Metodi di sostituzione e trasformazione

Si trattano la sostituzione omogenea, le equazioni di Clairaut e altre trasformazioni. Si amplia il bagaglio di strumenti per equazioni che resistono ai metodi standard.

Lezione 4 • Separazione delle variabili

Si applica la separazione a equazioni non lineari del primo ordine e si valutano le soluzioni implicite. Si rafforzano le competenze di integrazione centrali per i capitoli successivi.

Lezione 1 • Punti di equilibrio e linearizzazione

Si localizzano gli equilibri e si applica la linearizzazione jacobiana per classificarli. Si collega il comportamento lineare locale alla dinamica non lineare vicino ai punti fissi.

Lezione 2 • Metodo diretto di Lyapunov

Si costruiscono funzioni di Lyapunov per dimostrare la stabilità senza soluzioni esplicite. Si trattano funzioni candidate basate sull'energia e quadratiche.

Lezione 3 • Sistemi autonomi e ritratti di fase

Si convertono equazioni scalari in sistemi del primo ordine e si tracciano le traiettorie. Si stabilisce il piano delle fasi come strumento primario di analisi.

Lezione 4 • Definizioni e criteri di stabilità

Si definiscono rigorosamente la stabilità secondo Lyapunov, asintotica e globale. Gli studenti applicano le definizioni per determinare il comportamento a lungo termine delle soluzioni.

Lezione 1 • Biforcazione di Hopf

Si derivano le condizioni per la nascita di cicli limite da equilibri in sistemi planari. Gli studenti applicano il criterio di Hopf a modelli applicati.

Lezione 2 • Biforcazioni a sella-nodo e transcritiche

Si analizza la creazione e lo scambio di equilibri in sistemi monodimensionali. Gli studenti derivano le forme normali e disegnano diagrammi di biforcazione.

Lezione 3 • Biforcazioni a forcone

Si trattano le biforcazioni a forcone supercritiche e subcritiche e la rottura di simmetria. Si collega ai fenomeni di buckling e di rottura di simmetria.

Lezione 4 • Biforcazioni globali

Si introducono le biforcazioni omocline ed eterocline che non possono essere rilevate localmente. Si collega la struttura globale delle orbite ai cambiamenti dei parametri.

Lezione 1 • Sviluppi perturbativi regolari

Si costruiscono soluzioni in serie di potenze in un piccolo parametro per equazioni debolmente non lineari. Si stabilisce il quadro per tutti i metodi perturbativi.

Lezione 2 • Perturbazione singolare e strati limite

Si trattano equazioni in cui il piccolo parametro moltiplica la derivata di ordine più alto. Gli studenti costruiscono sviluppi interni, esterni e compositi.

Lezione 3 • Metodo della media

Si applica la media di Krylov-Bogoliubov a oscillatori lentamente variabili. Si riducono sistemi non autonomi a equazioni mediate autonome.

Lezione 4 • Metodo delle scale multiple

Si introducono scale temporali lente e veloci per eliminare i termini secolari nei sistemi oscillatori. Si applica agli oscillatori di Duffing e di van der Pol.

Lezione 1 • Stiffness e metodi impliciti

Si identificano sistemi non lineari stiff e si applicano schemi impliciti per mantenere la stabilità. Si trattano i metodi di Eulero all'indietro e dei trapezi.

Lezione 2 • Metodi multistep e predittore-correttore

Si introducono gli schemi di Adams-Bashforth e Adams-Moulton per l'efficienza. Si analizzano la stabilità allo zero e la convergenza dei metodi multistep.

Lezione 3 • Risolutori per problemi ai valori al contorno

Si applicano metodi di shooting, differenze finite e collocazione a BVP non lineari. Si confrontano convergenza e complessità implementativa.

Lezione 4 • Analisi dell'errore e convergenza

Si quantificano errore globale, consistenza e convergenza per risolutori non lineari. Gli studenti verificano le soluzioni numeriche rispetto a benchmark analitici noti.

Lezione 1 • Vie verso il caos

Si esaminano il raddoppiamento di periodo, la quasiperiodicità e l'intermittenza come vie verso il caos. Gli studenti identificano quale via si applica a un dato sistema.

Lezione 2 • Esponenti di Lyapunov

Si calcolano gli esponenti di Lyapunov per quantificare il caos e la geometria degli attrattori. Si collegano gli esponenti positivi al comportamento caotico.

Lezione 3 • Sistema di Lorenz e attrattori strani

Si analizzano le equazioni di Lorenz come sistema caotico prototipico. Gli studenti identificano l'attrattore strano e la sua struttura frattale.

Lezione 4 • Mappe di Poincaré e mappe di ritorno

Si riduce la dinamica continua a mappe discrete tramite sezioni di Poincaré. Si collegano i punti fissi delle mappe alle orbite periodiche dei flussi.

Lezione 1 • Soluzioni a onda viaggiante

Si riducono PDE non lineari a ODE tramite l'ansatz di onda viaggiante. Si applica l'analisi del piano delle fasi per classificare i profili d'onda.

Lezione 2 • Solitoni e sistemi integrabili

Si introduce l'equazione KdV e le soluzioni solitoniche tramite scattering inverso. Si evidenziano le leggi di conservazione e le condizioni di integrabilità.

Lezione 3 • Sistemi hamiltoniani e gradiente

Si identificano la struttura hamiltoniana e il flusso gradiente nei sistemi non lineari. Si usano quantità conservate per semplificare l'analisi.

Lezione 4 • Sistemi di reazione-diffusione

Si analizzano l'instabilità di Turing e la formazione di pattern in PDE di reazione-diffusione accoppiate. Si collega alle applicazioni biologiche e chimiche.