Curso de Análise Complexa

Aula 1 • Álgebra dos Números Complexos

Abrange as operações de adição, multiplicação, módulo e conjugado. Estabelece a base aritmética necessária para toda a análise subsequente.

Aula 2 • Geometria do Plano Complexo

Interpreta números complexos como pontos e vetores no plano. Relaciona operações algébricas a transformações geométricas.

Aula 3 • Topologia do Plano Complexo

Define conjuntos abertos, vizinhanças e conexidade no plano complexo. Fornece a linguagem topológica usada ao longo do curso.

Aula 1 • Funções Multívocas e Ramos

Aborda cortes de ramo e superfícies de Riemann para funções multívocas. Estabelece ramos analíticos unívocos usados na integração.

Aula 2 • Limites de Funções Complexas

Define limites rigorosamente usando linguagem épsilon-delta adaptada ao plano. Relaciona o comportamento de limite à dependência de caminho bidimensional.

Aula 3 • Continuidade e Suas Propriedades

Caracteriza funções contínuas e a preservação de propriedades topológicas. Relaciona continuidade a continuidade uniforme em conjuntos compactos.

Aula 1 • Funções Analíticas e Funções Harmónicas

Estabelece que as partes real e imaginária de funções analíticas são harmónicas. Constrói conjugados harmónicos via integração.

Aula 2 • Equações de Cauchy-Riemann

Deriva as condições de Cauchy-Riemann como critérios necessários e suficientes. Aplica-as para verificar a analiticidade de funções padrão.

Aula 3 • Definição de Derivada Complexa

Define a derivada complexa como um limite e contrasta-a com a diferenciação real. Destaca as restrições mais fortes impostas pela diferenciabilidade complexa.

Aula 4 • Regras de Diferenciação e Funções Inteiras

Estende as regras da soma, produto, cadeia e quociente a funções complexas. Classifica funções inteiras e introduz o teorema de Liouville informalmente.

Aula 1 • Teorema Integral de Cauchy

Demonstra a independência de caminho para funções analíticas em domínios simplesmente conexos. Introduz o princípio de deformação de contornos.

Aula 2 • Consequências do Teorema de Cauchy

Aplica os resultados de Cauchy para demonstrar o teorema de Liouville e o teorema fundamental da álgebra. Demonstra o poder das restrições de analiticidade.

Aula 3 • Fórmula Integral de Cauchy

Deriva a fórmula que expressa valores de funções via integrais de contorno. Estende a derivadas de ordem superior e estabelece a diferenciabilidade infinita.

Aula 1 • Séries de Potências e Raio de Convergência

Analisa a convergência de séries de potências usando os testes da razão e da raiz. Estabelece que séries de potências definem funções analíticas no interior do seu disco de convergência.

Aula 2 • Continuação Analítica

Define continuação analítica e o teorema da identidade para funções analíticas. Demonstra como funções se estendem de modo único para além do seu domínio inicial.

Aula 3 • Séries de Taylor de Funções Analíticas

Deriva expansões de Taylor a partir da fórmula integral de Cauchy. Calcula séries para funções padrão e determina discos de convergência.

Aula 1 • Integrais Impróprios via Resíduos

Avalia integrais reais impróprios usando contornos semicirculares e retangulares. Aplica o lema de Jordan para lidar com decaimento exponencial em arcos.

Aula 2 • Integrais com Cortes de Ramo

Lida com integrandos com cortes de ramo algébricos ou logarítmicos usando contornos de buraco de fechadura. Estende os métodos de resíduos a funções multívocas.

Aula 3 • Princípio do Argumento e Teorema de Rouché

Usa o princípio do argumento para contar zeros e polos no interior de um contorno. Aplica o teorema de Rouché para localizar zeros de funções perturbadas.

Aula 4 • Resíduos e o Teorema dos Resíduos

Define resíduos como coeficientes de Laurent e demonstra o teorema dos resíduos. Relaciona resíduos a números de enrolamento e singularidades encerradas.

Aula 1 • Transformação de Schwarz-Christoffel

Deriva a fórmula de Schwarz-Christoffel para mapear o semiplano superior a polígonos. Aplica-a para resolver a equação de Laplace em domínios poligonais.

Aula 2 • Aplicações Conformes Elementares

Cataloga aplicações conformes padrão, incluindo aplicações exponenciais, potência e de Joukowski. Constrói um conjunto de ferramentas para transformar regiões geométricas padrão.

Aula 3 • Teoria das Aplicações Conformes

Define conformalidade via preservação de ângulo e orientação em pontos não críticos. Relaciona conformalidade à analiticidade e à derivada não nula.

Aula 4 • Problemas de Valor de Fronteira via Aplicações Conformes

Resolve a equação de Laplace em domínios complexos mapeando para geometrias mais simples. Demonstra a relevância física das técnicas conformes.

Aula 1 • Teoremas de Picard e Distribuição de Valores

Enuncia e interpreta os teoremas pequeno e grande de Picard sobre valores omitidos. Relaciona à teoria de Nevanlinna e à distribuição de valores de funções inteiras.

Aula 2 • Funções Meromorfas e Mittag-Leffler

Constrói funções meromorfas com polos prescritos via o teorema de Mittag-Leffler. Contrasta com a fatorização de Weierstrass para zeros.

Aula 3 • Famílias Normais e Teorema de Montel

Define famílias normais de funções analíticas e demonstra o teorema de Montel. Fornece a ferramenta de compacidade usada na demonstração do teorema de mapeamento de Riemann.

Aula 4 • As Funções Gama e Zeta

Analisa a função Gama como uma continuação analítica do fatorial. Introduz a função zeta de Riemann e a sua equação funcional.