Curso de Métodos Numéricos

Aula 1 • Estabilidade e Condicionamento de Algoritmos

Define estabilidade numérica e números de condição para problemas. Prepara os estudantes para avaliar a fiabilidade do algoritmo antes da implementação.

Aula 2 • Configuração do Ambiente de Programação

Configura um ambiente de computação científica usando uma linguagem de alto nível. Assegura que todos os estudantes conseguem implementar e testar algoritmos a partir do capítulo dois.

Aula 3 • Complexidade Computacional e Eficiência

Introduz a notação Big-O e a contagem de operações para algoritmos numéricos. Permite a comparação de custos entre métodos concorrentes.

Aula 4 • Representação de Números em Vírgula Flutuante

Explica o standard IEEE 754 e o épsilon de máquina. Relaciona os limites da representação com a perda prática de precisão em computação.

Aula 1 • Métodos de Bisseção e Bracketting

Aborda o método da bisseção e as suas propriedades de convergência garantida. Introduz o conceito de bracketting como base para localizadores de raízes mais avançados.

Aula 2 • Sistemas de Equações Não Lineares

Estende a determinação de raízes escalar a sistemas multivariados usando o método de Newton com jacobianas. Prepara os estudantes para problemas não lineares em capítulos aplicados posteriores.

Aula 3 • Métodos da Secante e Quasi-Newton

Apresenta alternativas ao método de Newton sem derivadas. Compara a convergência superlinear com o custo da avaliação da derivada.

Aula 4 • Iteração de Ponto Fixo

Reformula equações como problemas de ponto fixo e analisa a convergência. Desenvolve a intuição para esquemas iterativos usados em capítulos posteriores.

Aula 1 • Eliminação de Gauss e Substituição Retroativa

Implementa a redução de linhas para a forma triangular superior e a substituição retroativa. Estabelece o resolvedor direto de base para todos os métodos matriciais subsequentes.

Aula 2 • Métodos Iterativos para Sistemas Lineares

Apresenta os métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e gradiente conjugado para sistemas grandes e esparsos. Analisa critérios de convergência e compara o custo com métodos diretos.

Aula 3 • Estruturas Matriciais Especiais

Explora a simetria, a definição positiva e a esparsidade para reduzir o custo computacional. Introduz a fatorização de Cholesky e resolvedores para matrizes em banda.

Aula 4 • Normas Matriciais e Números de Condição

Quantifica a sensibilidade da solução usando normas matriciais e números de condição. Aplica diretamente conceitos de análise de erro do capítulo um a sistemas lineares.

Aula 1 • Interpolação por Splines Cúbicos

Constrói splines cúbicos seccionais com condições de continuidade. Demonstra uma suavidade superior em comparação com polinómios globais de alto grau.

Aula 2 • Análise do Erro de Interpolação

Deduz o limite do erro de interpolação e identifica o fenómeno de Runge. Motiva o uso de nós de Chebyshev para minimizar o erro máximo.

Aula 3 • Interpolação de Hermite e Osculatória

Estende a interpolação para igualar valores de derivadas nos nós. Fornece a base teórica para a construção de splines cúbicos na secção seguinte.

Aula 4 • Técnicas de Interpolação Multivariada

Estende a interpolação a grelhas bidimensionais usando métodos bilineares e bicúbicos. Prepara os estudantes para aplicações numéricas de EDP e ciência de dados.

Aula 1 • Quadratura de Gauss

Seleciona pares ótimos de nós e pesos para maximizar a exatidão polinomial. Demonstra precisão superior em relação a Newton-Cotes para integrandos suaves.

Aula 2 • Extrapolação de Richardson e Integração de Romberg

Aplica a extrapolação de Richardson para eliminar sistematicamente termos de erro principais. Constrói a tabela de Romberg para integração de alta precisão com um número mínimo de avaliações de função.

Aula 3 • Fórmulas de Diferenças Finitas

Deduz aproximações de diferenças progressivas, regressivas e centradas a partir da série de Taylor. Estabelece precisão de primeira e segunda ordem para a estimativa de derivadas.

Aula 4 • Regras de Quadratura de Newton-Cotes

Desenvolve as regras dos trapézios, de Simpson e de Newton-Cotes de ordem superior. Deduz as formas compostas e os seus termos de erro para integração prática.

Aula 1 • Sistemas de EDOs e Equações de Ordem Superior

Converte EDOs de ordem superior em sistemas de primeira ordem e aplica resolvedores vetoriais. Prepara os estudantes para semi-discretizações de EDP acopladas no capítulo seguinte.

Aula 2 • Métodos de Runge-Kutta

Desenvolve o método clássico RK4 e a sua família através de tableaux de Butcher. Equilibra precisão e custo de avaliação de função para problemas não rígidos.

Aula 3 • Métodos Multipasso

Apresenta os esquemas preditor-corretor de Adams-Bashforth e Adams-Moulton. Compara a eficiência com métodos de passo único para integração suave de longa duração.

Aula 4 • Análise de Estabilidade e Sistemas Rígidos

Define regiões de estabilidade absoluta e identifica EDOs rígidas. Motiva resolvedores implícitos, como as fórmulas de diferenciação retroativa, para problemas rígidos.

Aula 1 • Diferenças Finitas para EDPs Parabólicas

Aplica esquemas explícitos e implícitos à equação do calor. Deduz o método de Crank-Nicolson e a sua precisão de segunda ordem no tempo e no espaço.

Aula 2 • Classificação e Discretização de EDPs

Classifica EDPs como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas e seleciona estratégias de discretização adequadas. Relaciona métodos de ODE do capítulo seis com o método das linhas.

Aula 3 • EDPs Hiperbólicas e Equações de Onda

Resolve as equações de advecção e de onda usando esquemas upwind e Lax-Wendroff. Analisa a difusão e a dispersão numéricas como métricas de precisão chave.

Aula 4 • Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Introduz a formulação fraca e o método de Galerkin dos elementos finitos para problemas de valor de fronteira 1D. Fornece uma ponte conceptual para cursos avançados de FEM.

Aula 1 • Otimização com Restrições e Não Linear

Introduz multiplicadores de Lagrange, métodos de penalidade e programação quadrática sequencial. Prepara os estudantes para resolver problemas de engenharia e ajuste de dados com restrições.

Aula 2 • Decomposição em Valores Singulares

Calcula a SVD e aplica-a à determinação de característica, pseudoinversa e compressão de dados. Fornece a ferramenta mais robusta para problemas de mínimos quadrados mal condicionados.

Aula 3 • Fatorização QR e Métodos Ortogonais

Decompõe matrizes via Gram-Schmidt e reflexões de Householder para mínimos quadrados estáveis. Demonstra estabilidade numérica superior em relação às equações normais.

Aula 4 • Métodos de Otimização sem Restrições

Aplica a descida de gradiente, o método de Newton e as atualizações quasi-Newton para minimizar funções suaves. Analisa taxas de convergência e estratégias de busca linear.