Corso base di analisi matematica

Lezione 1 • Tecniche algebriche essenziali

Ripassa la fattorizzazione, le espressioni razionali e le regole degli esponenti, fondamentali per semplificare le espressioni del calcolo. Evita che gli errori algebrici oscurino i concetti del calcolo.

Lezione 2 • Funzioni esponenziali e logaritmiche

Esamina i modelli di crescita/decadimento, la base naturale e e le leggi dei logaritmi. Queste funzioni compaiono ripetutamente nei capitoli sulla derivazione e sull'integrazione.

Lezione 3 • Funzioni e loro rappresentazioni

Definisce le funzioni in modo formale ed esplora quattro rappresentazioni: verbale, algebrica, numerica e grafica. Collega le definizioni astratte all'intuizione visiva.

Lezione 4 • Numeri, insiemi e la retta reale

Tratta le proprietà dei numeri reali, la notazione per intervalli e il valore assoluto. Stabilisce il linguaggio numerico utilizzato in ogni concetto del calcolo.

Lezione 1 • Continuità delle funzioni

Definisce la continuità in un punto e su un intervallo, classifica le discontinuità ed enuncia il teorema dei valori intermedi. Prepara gli studenti alle condizioni di derivabilità.

Lezione 2 • Definizione formale di limite

Presenta la definizione epsilon-delta e la utilizza per verificare rigorosamente i valori dei limiti. Sviluppa la precisione logica che sta alla base di tutte le dimostrazioni del calcolo.

Lezione 3 • Limiti che coinvolgono l'infinito

Analizza i limiti infiniti e i limiti all'infinito per descrivere gli asintoti verticali e orizzontali. Collega il comportamento dei limiti alla forma a lungo termine dei grafici delle funzioni.

Lezione 4 • Calcolare i limiti algebricamente

Applica le leggi dei limiti, la fattorizzazione, la razionalizzazione e la sostituzione per valutare i limiti in modo esatto. Abilita direttamente il calcolo delle derivate nel capitolo successivo.

Lezione 1 • Derivazione implicita e derivate di ordine superiore

Deriva relazioni definite implicitamente e calcola derivate di ordine superiore. Prepara gli studenti ai tassi correlati e all'analisi della concavità.

Lezione 2 • La derivata come tasso di variazione

Collega il tasso di variazione medio al tasso istantaneo tramite il limite del rapporto incrementale. Fondamenta la derivata nel significato fisico e geometrico.

Lezione 3 • La regola della catena

Presenta la regola della catena per derivare le funzioni composte e la applica a espressioni annidate. Sblocca la derivazione di composizioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.

Lezione 4 • Regole di derivazione di base

Introduce le regole della potenza, della costante, della somma e della differenza per una derivazione efficiente. Riduce la dipendenza dalla definizione di limite per le funzioni polinomiali standard.

Lezione 1 • Approssimazione lineare e differenziali

Usa la retta tangente per approssimare i valori di una funzione vicino a un punto noto. Introduce i differenziali come strumento per stimare l'errore e la sensibilità.

Lezione 2 • Tassi correlati

Utilizza la derivazione implicita rispetto al tempo per mettere in relazione quantità variabili. Sviluppa una strategia sistematica di risoluzione dei problemi per scenari dinamici del mondo reale.

Lezione 3 • Valori estremi e punti critici

Identifica gli estremi assoluti e locali utilizzando il teorema dei valori estremi e i punti critici. Fornisce la base analitica per i problemi di ottimizzazione.

Lezione 4 • Tracciamento del grafico con le derivate

Applica i criteri della derivata prima e seconda per determinare la monotonia, la concavità e i punti di flesso. Integra la conoscenza dei limiti e delle derivate in un'analisi completa del grafico.

Lezione 5 • Problemi di ottimizzazione

Traduce i problemi verbali in funzioni obiettivo e utilizza il calcolo per trovare i valori ottimali. Applica l'intero insieme degli strumenti della derivata a scenari decisionali pratici.

Lezione 1 • Regola di sostituzione per l'integrazione

Applica la sostituzione-u come controparte integrativa della regola della catena. Amplia la classe di integrali che gli studenti possono valutare analiticamente.

Lezione 2 • Area e somme di Riemann

Approssima l'area sotto una curva usando le somme di Riemann sinistre, destre e del punto medio. Motiva l'integrale definito come limite di partizioni sempre più raffinate.

Lezione 3 • Teorema fondamentale del calcolo integrale

Dimostra entrambe le parti del teorema fondamentale, collegando derivazione e integrazione. Consente la valutazione esatta degli integrali definiti utilizzando le primitive.

Lezione 4 • Primitive e integrali indefiniti

Introduce l'antiderivazione come l'inverso della derivazione e stabilisce la notazione integrale. Costruisce il ponte concettuale tra derivate e integrali.

Lezione 1 • Sostituzione trigonometrica

Sostituisce i radicali algebrici con sostituzioni trigonometriche per semplificare gli integrandi. Tratta integrali che coinvolgono radici quadrate di espressioni quadratiche.

Lezione 2 • Integrali impropri

Estende l'integrazione a intervalli illimitati e a funzioni con discontinuità infinite usando i limiti. Introduce la convergenza e la divergenza degli integrali impropri.

Lezione 3 • Integrazione per parti

Ricava la formula di integrazione per parti dalla regola del prodotto e la applica sistematicamente. Tratta prodotti di polinomi, esponenziali e logaritmi.

Lezione 4 • Decomposizione in frazioni parziali

Scompone le funzioni razionali in frazioni più semplici per l'integrazione. Tratta fattori lineari distinti, lineari ripetuti e quadratici irriducibili.

Lezione 1 • Lavoro, forza e applicazioni fisiche

Modella quantità fisiche come il lavoro, la forza idrostatica e il centro di massa utilizzando gli integrali. Dimostra il calcolo come strumento per problemi di ingegneria e fisica.

Lezione 2 • Valore medio e teorema del valor medio per integrali

Definisce il valore medio di una funzione su un intervallo e dimostra il teorema del valor medio integrale. Collega l'integrazione a concetti statistici e fisici di media.

Lezione 3 • Area tra curve

Calcola l'area racchiusa tra due funzioni integrando la loro differenza. Richiede un'attenta identificazione dei punti di intersezione e dei limiti di integrazione.

Lezione 4 • Lunghezza d'arco e area della superficie

Ricava e applica le formule per la lunghezza di una curva e l'area di una superficie di rivoluzione. Estende l'integrazione a misure geometriche unidimensionali e bidimensionali.

Lezione 1 • Serie di potenze e raggio di convergenza

Definisce le serie di potenze, trova i raggi e gli intervalli di convergenza e deriva o integra termine a termine. Collega la teoria delle serie alla rappresentazione delle funzioni.

Lezione 2 • Criteri di convergenza per le serie

Applica i criteri dell'integrale, del confronto, del rapporto e della radice per determinare la convergenza delle serie. Fornisce agli studenti un insieme sistematico di strumenti per classificare il comportamento delle serie.

Lezione 3 • Serie infinite e convergenza

Introduce le somme parziali, le serie geometriche e il criterio di divergenza. Stabilisce la struttura per determinare se una somma infinita ha un valore finito.

Lezione 4 • Serie di Taylor e di Maclaurin

Costruisce le serie di Taylor e di Maclaurin per le funzioni standard e stima l'errore con il termine resto. Fornisce approssimazioni polinomiali centrali per la matematica applicata.