Corso di analisi complessa

Lezione 1 • Algebra dei Numeri Complessi

Tratta addizione, moltiplicazione, modulo e operazioni coniugate. Stabilisce le basi aritmetiche necessarie per tutta l’analisi successiva.

Lezione 2 • Geometria del Piano Complesso

Interpreta i numeri complessi come punti e vettori nel piano. Collega le operazioni algebriche alle trasformazioni geometriche.

Lezione 3 • Topologia del Piano Complesso

Definisce insiemi aperti, intorni e connessione nel piano complesso. Fornisce il linguaggio topologico usato in tutto il corso.

Lezione 1 • Funzioni a Più Valori e Rami

Affronta i tagli dei rami e le superfici di Riemann per le funzioni a più valori. Stabilisce rami analitici a un solo valore usati nell’integrazione.

Lezione 2 • Limiti di Funzioni Complesse

Definisce i limiti in modo rigoroso usando il linguaggio epsilon-delta adattato al piano. Collega il comportamento dei limiti alla dipendenza dal cammino bidimensionale.

Lezione 3 • Continuità e Sue Proprietà

Caratterizza le funzioni continue e la preservazione delle proprietà topologiche. Collega la continuità alla continuità uniforme su insiemi compatti.

Lezione 1 • Funzioni Analitiche e Funzioni Armoniche

Stabilisce che le parti reale e immaginaria delle funzioni analitiche sono armoniche. Costruisce coniugati armonici tramite integrazione.

Lezione 2 • Equazioni di Cauchy-Riemann

Deriva le condizioni di Cauchy-Riemann come criteri necessari e sufficienti. Le applica per verificare l'analiticità delle funzioni standard.

Lezione 3 • Definizione di Derivata Complessa

Definisce la derivata complessa come limite e la contrappone alla differenziazione reale. Evidenzia i vincoli più forti imposti dalla differenziabilità complessa.

Lezione 4 • Regole di Differenziazione e Funzioni Intere

Estende le regole di somma, prodotto, catena e quoziente alle funzioni complesse. Classifica le funzioni intere e introduce informalmente il teorema di Liouville.

Lezione 1 • Teorema Integrale di Cauchy

Dimostra l'indipendenza dal cammino per funzioni analitiche su domini semplicemente connessi. Introduce il principio di deformazione dei contorni.

Lezione 2 • Conseguenze del Teorema di Cauchy

Applica i risultati di Cauchy per dimostrare il teorema di Liouville e il teorema fondamentale dell'algebra. Dimostra la potenza dei vincoli di analiticità.

Lezione 3 • Formula Integrale di Cauchy

Deriva la formula che esprime i valori della funzione tramite integrali di contorno. La estende alle derivate di ordine superiore e stabilisce la differenziabilità infinita.

Lezione 1 • Serie di Potenze e Raggio di Convergenza

Analizza la convergenza delle serie di potenze usando i criteri del rapporto e della radice. Stabilisce che le serie di potenze definiscono funzioni analitiche all'interno del loro disco di convergenza.

Lezione 2 • Prolungamento Analitico

Definisce il prolungamento analitico e il teorema di identità per le funzioni analitiche. Dimostra come le funzioni si estendono in modo unico oltre il loro dominio iniziale.

Lezione 3 • Serie di Taylor di Funzioni Analitiche

Deriva gli sviluppi di Taylor dalla formula integrale di Cauchy. Calcola serie per funzioni standard e determina i dischi di convergenza.

Lezione 1 • Integrali Impropri tramite Residui

Valuta integrali impropri reali usando contorni semicircolari e rettangolari. Applica il lemma di Jordan per gestire il decadimento esponenziale sugli archi.

Lezione 2 • Integrali con Tagli dei Rami

Gestisce integrandi con tagli dei rami algebrici o logaritmici usando contorni a toppa di serratura. Estende i metodi dei residui alle funzioni a più valori.

Lezione 3 • Principio dell’Argomento e Teorema di Rouché

Usa il principio dell’argomento per contare zeri e poli all’interno di un contorno. Applica il teorema di Rouché per localizzare gli zeri di funzioni perturbate.

Lezione 4 • Residui e Teorema dei Residui

Definisce i residui come coefficienti di Laurent e dimostra il teorema dei residui. Collega i residui ai numeri di avvolgimento e alle singolarità racchiuse.

Lezione 1 • Trasformazione di Schwarz-Christoffel

Deriva la formula di Schwarz-Christoffel per mappare il semipiano superiore su poligoni. La applica per risolvere l’equazione di Laplace su domini poligonali.

Lezione 2 • Mappe Conformi Elementari

Cataloga le mappe conformi standard, incluse le mappe esponenziale, di potenza e di Joukowski. Costruisce un insieme di strumenti per trasformare regioni geometriche standard.

Lezione 3 • Teoria delle Mappe Conformi

Definisce la conformalità tramite la conservazione di angoli e orientamento nei punti non critici. Collega la conformalità all’analiticità e alla derivata non nulla.

Lezione 4 • Problemi al Contorno tramite Mappe Conformi

Risolve l’equazione di Laplace su domini complessi mappando su geometrie più semplici. Dimostra la rilevanza fisica delle tecniche conformi.

Lezione 1 • Teoremi di Picard e Distribuzione dei Valori

Enuncia e interpreta i teoremi piccolo e grande di Picard sui valori omessi. Collega alla teoria di Nevanlinna e alla distribuzione dei valori delle funzioni intere.

Lezione 2 • Funzioni Meromorfe e Mittag-Leffler

Costruisce funzioni meromorfe con poli prescritti tramite il teorema di Mittag-Leffler. Contrappone alla fattorizzazione di Weierstrass per gli zeri.

Lezione 3 • Famiglie Normali e Teorema di Montel

Definisce famiglie normali di funzioni analitiche e dimostra il teorema di Montel. Fornisce lo strumento di compattezza usato nella dimostrazione del teorema della mappa di Riemann.

Lezione 4 • Le Funzioni Gamma e Zeta

Analizza la funzione Gamma come prolungamento analitico del fattoriale. Introduce la funzione zeta di Riemann e la sua equazione funzionale.