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Corso di Analisi Matematica 3

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Corso di Analisi Matematica 3

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Corso di Analisi Matematica 3

Padroneggi l'intero ambito del Calcolo 3, dai vettori e le funzioni multivariabili agli integrali di superficie e ai principali teoremi del calcolo vettoriale. Questo corso costruisce le rigorose basi matematiche necessarie per il lavoro avanzato in fisica, ingegneria e matematica applicata. Ogni argomento centrale è sviluppato in modo sistematico, con derivazioni chiare e un'ampia gamma di problemi risolti.

Dedika per aziende

Cosa imparerai:

Costruirà una comprensione completa dello spazio tridimensionale, delle funzioni a valori vettoriali e del calcolo multivariabile. Il corso tratta le derivate parziali, il gradiente, l'ottimizzazione con i moltiplicatori di Lagrange e gli integrali doppi e tripli in diversi sistemi di coordinate. Studierà gli integrali di linea, gli integrali di superficie e i campi vettoriali, quindi applicherà il teorema di Green, il teorema di Stokes e il teorema della divergenza a problemi reali. Il materiale supplementare include superfici quadriche, ripasso delle serie, equazioni differenziali, metodi numerici e applicazioni fisiche. Al termine, disporrà degli strumenti analitici necessari per le equazioni differenziali, l'analisi reale e i corsi avanzati di ingegneria.

Come studi in modo pratico Corso di Analisi Matematica 3

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Contenuto del corso

8 Capitoli • 41 LezioniDurata tra 4 e 360 ore (decidi tu)

Capitolo 1Vedi dettagli

Vettori e spazio tridimensionale

Lezione 1 • Prodotto vettoriale e le sue applicazioni
Sviluppa il prodotto vettoriale tramite il metodo del determinante ed esplora il suo significato geometrico. Consente il calcolo di vettori normali, coppia e aree di parallelogrammi.
Lezione 2 • Coordinate e punti nello spazio 3D
Introduce il sistema di coordinate cartesiane tridimensionale e la formula della distanza. Fornisce la struttura spaziale necessaria per tutto il lavoro successivo su vettori e superfici.
Lezione 3 • Prodotto scalare e le sue applicazioni
Tratta la formula del prodotto scalare, l'angolo tra vettori e l'ortogonalità. Si collega direttamente alle proiezioni e ai vettori normali usati nelle equazioni dei piani.
Lezione 4 • Rette e piani nello spazio
Deriva le equazioni parametriche, simmetriche e standard per rette e piani usando i vettori. Costruisce il ragionamento spaziale necessario per superfici e funzioni a più variabili.
Lezione 5 • Algebra e operazioni vettoriali
Definisce i vettori, la moltiplicazione per scalare e l'addizione vettoriale geometricamente e algebricamente. Queste operazioni sono alla base del prodotto scalare, del prodotto vettoriale e delle equazioni delle rette.

Capitolo 2Vedi dettagli

Funzioni a valori vettoriali e curve nello spazio

Lezione 1 • Lunghezza d'arco e curvatura
Deriva la lunghezza d'arco per le curve spaziali e definisce la curvatura usando il triedro TNB. Questi concetti appaiono nelle applicazioni fisiche e nella geometria differenziale.
Lezione 2 • Integrazione di funzioni vettoriali
Tratta gli integrali definiti e indefiniti di funzioni vettoriali componente per componente. Si collega a posizione, velocità e accelerazione nei problemi di moto.
Lezione 3 • Introduzione alle funzioni a valori vettoriali
Definisce le funzioni a valori vettoriali, i loro domini, limiti e continuità. Stabilisce la connessione tra curve parametriche e funzioni vettoriali.
Lezione 4 • Moto nello spazio: velocità e accelerazione
Applica il calcolo vettoriale per analizzare il moto di proiettili e il moto circolare usando le componenti tangenziale e normale dell'accelerazione. Sintetizza tutte le competenze delle sezioni precedenti.
Lezione 5 • Derivazione di funzioni vettoriali
Sviluppa le regole di derivazione per funzioni vettoriali, incluse le regole del prodotto e della catena. I vettori tangenti qui derivati sono fondamentali per l'analisi della curvatura e del moto.

Capitolo 3Vedi dettagli

Funzioni a più variabili e derivate parziali

Lezione 1 • Piani tangenti e approssimazione lineare
Deriva le equazioni del piano tangente e la linearizzazione per funzioni di due variabili. Si collega ai differenziali e alla stima dell'errore usati nei problemi applicati.
Lezione 2 • Derivate direzionali e gradiente
Definisce le derivate direzionali e il vettore gradiente, collegandoli alla salita più ripida. Le proprietà del gradiente sono essenziali per l'ottimizzazione e i moltiplicatori di Lagrange.
Lezione 3 • Funzioni di più variabili
Definisce le funzioni a più variabili, i loro domini, immagini e curve di livello. La visualizzazione delle curve di livello e delle superfici prepara gli studenti al lavoro su gradiente e ottimizzazione.
Lezione 4 • La regola della catena per funzioni a più variabili
Estende la regola della catena a funzioni composte a più variabili usando alberi di dipendenza. Consente la derivazione implicita e problemi di tassi correlati in dimensioni superiori.
Lezione 5 • Limiti e continuità in più variabili
Estende i concetti di limite a contesti a più variabili, inclusi i limiti dipendenti dal percorso. Stabilisce le condizioni di continuità necessarie per i teoremi di differenziabilità.
Lezione 6 • Derivate parziali
Definisce e calcola le derivate parziali di primo ordine e di ordine superiore usando metodi basati sul limite e sulle regole. Le derivate parziali sono i mattoni del gradiente e della regola della catena.

Capitolo 4Vedi dettagli

Ottimizzazione di funzioni a più variabili

Lezione 1 • Test della derivata seconda in due variabili
Applica il discriminante D per classificare i punti critici come massimi, minimi o punti di sella. Estende il ragionamento della derivata seconda da una variabile alle superfici.
Lezione 2 • Estremi locali e punti critici
Identifica i punti critici annullando le derivate parziali e li classifica. Fornisce le basi per il test della derivata seconda e l'ottimizzazione globale.
Lezione 3 • Estremi assoluti su regioni chiuse
Trova massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati esaminando l'interno e il bordo. Rispecchia il metodo dell'intervallo chiuso del calcolo a una variabile.
Lezione 4 • Moltiplicatori di Lagrange
Introduce l'ottimizzazione vincolata usando la condizione del moltiplicatore di Lagrange. Risolve problemi in cui gli estremi si trovano su curve o superfici definite da vincoli.

Capitolo 5Vedi dettagli

Integrali multipli

Lezione 1 • Integrali doppi su regioni generali
Estende gli integrali doppi a regioni di tipo I e tipo II con limiti variabili. Cambiare l'ordine di integrazione spesso semplifica integrali altrimenti intrattabili.
Lezione 2 • Integrali tripli in coordinate sferiche
Introduce le coordinate sferiche e lo Jacobiano rho quadrato seno di phi per gli integrali tripli. Ideale per sfere, coni e altri solidi a simmetria radiale.
Lezione 3 • Integrali doppi in coordinate polari
Converte gli integrali doppi in forma polare usando il fattore jacobiano r. Le coordinate polari semplificano integrali su regioni circolari e simmetriche.
Lezione 4 • Integrali tripli in coordinate cilindriche
Trasforma integrali tripli usando coordinate cilindriche per solidi con simmetria assiale. Lo Jacobiano r semplifica l'integrazione su cilindri e coni.
Lezione 5 • Integrali tripli in coordinate rettangolari
Imposta e valuta integrali tripli su regioni a scatola e solidi generali. Calcola volume, massa e momenti di oggetti solidi.
Lezione 6 • Integrali doppi su rettangoli
Definisce gli integrali doppi come limiti di somme di Riemann e li valuta come integrali iterati. Il teorema di Fubini giustifica lo scambio dell'ordine di integrazione su rettangoli.

Capitolo 6Vedi dettagli

Cambio di variabili e applicazioni degli integrali multipli

Lezione 1 • Cambio di variabili e lo Jacobiano
Deriva la formula generale del cambio di variabili usando il determinante jacobiano. Unifica le sostituzioni polari, cilindriche e sferiche sotto un unico quadro.
Lezione 2 • Area superficiale tramite integrali doppi
Calcola l'area superficiale del grafico z = f(x, y) usando la formula dell'integrale doppio. Estende le idee di lunghezza d'arco dal calcolo a una variabile alle superfici.
Lezione 3 • Applicazioni probabilistiche degli integrali doppi
Applica gli integrali doppi alle funzioni di densità di probabilità congiunta e ai valori attesi. Dimostra l'ampiezza dell'integrazione multipla oltre la geometria.
Lezione 4 • Momenti, centri di massa e centroidi
Usa integrali doppi e tripli per trovare momenti e centri di massa per lamine e solidi. Collega l'integrazione all'equilibrio fisico e alla progettazione ingegneristica.

Capitolo 7Vedi dettagli

Campi vettoriali e integrali di linea

Lezione 1 • Integrali di linea di campi vettoriali
Definisce e calcola gli integrali di linea di campi vettoriali che rappresentano il lavoro compiuto da una forza. Si collega alle interpretazioni di circolazione e flusso in fisica.
Lezione 2 • Integrali di linea di funzioni scalari
Valuta integrali di linea di funzioni scalari rispetto alla lunghezza d'arco. Calcola massa e centro di massa di oggetti filiformi.
Lezione 3 • Campi vettoriali in due e tre dimensioni
Definisce i campi vettoriali, li disegna e identifica i campi gradiente. Riconoscere i campi conservativi riduce significativamente il calcolo degli integrali di linea.
Lezione 4 • Teorema fondamentale per gli integrali di linea
Enuncia e applica il teorema fondamentale ai campi conservativi, mostrando l'indipendenza dal percorso. Trovare funzioni potenziali riduce gli integrali di linea a valutazioni al bordo.
Lezione 5 • Teorema di Green
Mette in relazione un integrale di linea lungo una curva chiusa con un integrale doppio sulla regione racchiusa. Consente un calcolo efficiente di circolazione e flusso per campi piani.

Capitolo 8Vedi dettagli

Integrali di superficie e i teoremi di Stokes e Gauss

Lezione 1 • Integrali di superficie di campi vettoriali e flusso
Definisce il flusso come l'integrale di superficie del prodotto scalare di un campo vettoriale con il versore normale. L'orientamento delle superfici determina il segno degli integrali di flusso.
Lezione 2 • Integrali di superficie di funzioni scalari
Valuta integrali di superficie di funzioni scalari su superfici parametriche e grafici. Calcola massa e valore medio di una distribuzione superficiale.
Lezione 3 • Il teorema della divergenza
Mette in relazione il flusso attraverso una superficie chiusa con l'integrale triplo della divergenza sul volume racchiuso. Completa l'unificazione dei teoremi del calcolo vettoriale.
Lezione 4 • Superfici parametriche e loro aree
Rappresenta le superfici parametricamente e calcola l'area superficiale usando il prodotto vettoriale delle derivate parziali. Generalizza la precedente formula dell'area superficiale a superfici arbitrarie.
Lezione 5 • Teorema di Stokes
Mette in relazione l'integrale di superficie del rotore di F con l'integrale di linea lungo la curva di bordo. Generalizza il teorema di Green a superfici in tre dimensioni.
Lezione 6 • Rotore e divergenza di campi vettoriali
Definisce rotore e divergenza usando l'operatore nabla e li interpreta fisicamente. Questi operatori compaiono direttamente nel teorema di Stokes e nel teorema della divergenza.

Certificazione

Il tuo certificato valido di completamento

Questo corso è per te:

Studenti universitari: attualmente iscritti a un corso di calcolo del terzo semestre e bisognosi di supporto.
Studenti di ingegneria: che si preparano a corsi di meccanica dei fluidi, elettromagnetismo o analisi strutturale.
Studenti di fisica: che necessitano di un calcolo vettoriale rigoroso prima di affrontare la meccanica classica o quantistica.
Data scientist: che cercano le basi matematiche degli algoritmi di apprendimento automatico basati sul gradiente.
Programmatori autodidatti: che colmano lacune nella formazione matematica per accedere a ruoli di ricerca tecnica.
Laureati in discipline STEM: che desiderano rinfrescare le competenze di calcolo multivariabile prima di intraprendere programmi di livello universitario superiore.

Cosa dicono i nostri studenti

Le sue lezioni sono perfette. Ho acquistato il pacchetto annuale e finalmente ho l'opportunità di seguire diversi argomenti di mio interesse senza dover cambiare piattaforma... vi ringrazio per tutto quello che fate, vi ho già raccomandati ad altre persone...