Corso di Analisi Matematica II

Lezione 1 • Ripasso su limiti e continuità

Ripassa le proprietà dei limiti, i limiti unilaterali e le condizioni di continuità. Stabilisce le basi analitiche necessarie per l'integrazione e la convergenza delle serie.

Lezione 2 • Teorema fondamentale del calcolo

Collega derivazione e integrazione attraverso entrambe le parti del teorema fondamentale. Costruisce il ponte concettuale verso il calcolo di integrali definiti e indefiniti.

Lezione 3 • Regole di derivazione e applicazioni

Rivede le regole del prodotto, del quoziente e della catena insieme alla derivazione implicita. Assicura la padronanza delle derivate necessaria per le tecniche di integrazione e le equazioni differenziali.

Lezione 1 • Integrali impropri

Estende l'integrazione definita a intervalli illimitati e integrandi discontinui usando i limiti. Introduce i concetti di convergenza e divergenza fondamentali per l'analisi delle serie.

Lezione 2 • Sostituzione trigonometrica

Elimina i radicali negli integrandi sostituendo espressioni trigonometriche. Copre tutti e tre i casi standard e la retro-sostituzione alle variabili originali.

Lezione 3 • Integrazione per parti

Deriva e applica la formula di integrazione per parti usando l'euristica LIATE. Si collega alla regola del prodotto e gestisce applicazioni ripetute e cicliche.

Lezione 4 • Decomposizione in frazioni parziali

Scompone funzioni razionali in frazioni più semplici per l'integrazione. Tratta fattori lineari distinti, lineari ripetuti e quadratici irriducibili.

Lezione 1 • Area tra curve

Calcola aree racchiuse da due o più curve usando sezioni verticali e orizzontali. Rafforza le capacità di impostazione degli integrali e l'analisi dei punti di intersezione.

Lezione 2 • Volume con gusci cilindrici

Calcola volumi di rivoluzione usando il metodo dei gusci come alternativa ai dischi. Evidenzia quando i gusci sono più efficienti delle rondelle.

Lezione 3 • Volumi con i metodi dei dischi e delle rondelle

Genera solidi di rivoluzione e calcola i loro volumi usando sezioni a disco e a rondella. Costruisce il ragionamento spaziale per applicazioni integrali tridimensionali.

Lezione 4 • Lunghezza d'arco e area superficiale

Deriva e applica formule per la lunghezza d'arco di curve e l'area superficiale di rivoluzione. Collega concetti di geometria differenziale al calcolo di integrali definiti.

Lezione 1 • Fondamenti delle equazioni differenziali

Definisce le ODE, il loro ordine e grado, e le classifica per linearità. Stabilisce il vocabolario e l'inquadramento concettuale per tutto il lavoro successivo sulle ODE.

Lezione 2 • Campi di pendenza e analisi qualitativa

Costruisce campi di pendenza per visualizzare il comportamento delle soluzioni senza formule esplicite. Sviluppa l'intuizione geometrica che completa i metodi analitici di soluzione.

Lezione 3 • Equazioni differenziali separabili

Risolve le ODE separando le variabili e integrando entrambi i lati indipendentemente. Applica la tecnica a problemi di crescita esponenziale, decadimento e miscelazione.

Lezione 1 • Successioni speciali e tassi di crescita

Confronta i tassi di crescita di successioni polinomiali, esponenziali e fattoriali. Prepara gli studenti ai criteri del rapporto e della radice nei capitoli sulle serie.

Lezione 2 • Definire e visualizzare successioni

Introduce le successioni come funzioni su interi positivi ed esplora definizioni esplicite e ricorsive. Fornisce il punto di ingresso concettuale per le serie infinite.

Lezione 3 • Successioni monotone e limitate

Classifica le successioni come monotone crescenti o decrescenti e identifica i limiti. Applica il teorema di convergenza monotona per garantire la convergenza.

Lezione 1 • Serie e somme parziali

Definisce le serie infinite come limiti di successioni di somme parziali e introduce la serie geometrica. Stabilisce il test di divergenza come primo strumento di vaglio della convergenza.

Lezione 2 • Criteri dell'integrale e delle p-serie

Usa il criterio dell'integrale per collegare la convergenza delle serie agli integrali impropri. Applica i risultati per classificare le p-serie e stimare i margini di resto.

Lezione 3 • Criteri del rapporto e della radice

Applica i criteri del rapporto e della radice a serie con termini fattoriali ed esponenziali. Identifica i casi inconcludenti e seleziona di conseguenza test alternativi.

Lezione 4 • Serie alternate e convergenza assoluta

Verifica le serie alternate usando il criterio di Leibniz e stima i margini di errore. Distingue la convergenza assoluta da quella condizionata.

Lezione 1 • Serie di Taylor e Maclaurin

Costruisce serie di Taylor dalle derivate successive e identifica le serie di Maclaurin standard. Collega l'approssimazione polinomiale alla rappresentazione esatta di funzioni.

Lezione 2 • Polinomi di Taylor e margini di errore

Usa i polinomi di Taylor per approssimare valori di funzione e quantifica l'errore con il teorema del resto di Taylor. Applica i limiti per raggiungere l'accuratezza desiderata.

Lezione 3 • Derivazione e integrazione di serie di potenze

Deriva e integra serie di potenze termine a termine entro l'intervallo di convergenza. Genera nuove rappresentazioni in serie a partire da quelle note.

Lezione 4 • Fondamenti delle serie di potenze

Definisce serie di potenze centrate in un punto e determina il raggio e l'intervallo di convergenza. Applica il criterio del rapporto per trovare i confini di convergenza.

Lezione 1 • Lunghezza d'arco e area superficiale in forma parametrica

Deriva le formule di lunghezza d'arco e area superficiale per curve parametriche. Estende i risultati del Capitolo 3 all'ambito parametrico.

Lezione 2 • Introduzione alle coordinate polari

Converte tra coordinate polari e cartesiane e traccia grafici di curve polari standard. Stabilisce il sistema di coordinate per il calcolo polare.

Lezione 3 • Curve parametriche e calcolo

Definisce equazioni parametriche e calcola pendenze e concavità di curve parametriche. Collega le derivate parametriche alle interpretazioni cartesiane standard.