Corso di processi stocastici

Lezione 1 • Valore Atteso e Momenti

Definisce il valore atteso e i funzionali momento basati sull'integrazione secondo Lebesgue. Questi strumenti quantificano il comportamento medio e la variabilità nei modelli stocastici.

Lezione 2 • Misure di Probabilità e Assiomi

Introduce gli assiomi di Kolmogorov e la probabilità in termini di teoria della misura. Fornisce il fondamento rigoroso per tutte le affermazioni probabilistiche nei capitoli successivi.

Lezione 3 • Concetti di Convergenza in Probabilità

Distingue la convergenza quasi certa, in probabilità e in media quadratica. Prepara ad analizzare il comportamento limite delle successioni stocastiche.

Lezione 4 • Variabili Aleatorie e Distribuzioni

Tratta le variabili aleatorie discrete e continue e le loro distribuzioni. Collega la teoria astratta della misura alla modellizzazione probabilistica pratica.

Lezione 1 • Definizione e Classificazione dei Processi

Formalizza un processo stocastico come una famiglia indicizzata di variabili aleatorie. La classificazione per tempo e spazio degli stati discreto o continuo guida la scelta del modello.

Lezione 2 • Stazionarietà ed Ergoticità

Definisce la stazionarietà in senso stretto e in senso lato e le proprietà ergotiche. Questi concetti sono alla base dell'analisi delle serie storiche e dei calcoli delle medie di lungo periodo.

Lezione 3 • Distribuzioni Finito-Dimensionali

Caratterizza i processi attraverso le loro famiglie di distribuzioni finito-dimensionali. Il teorema di consistenza di Kolmogorov garantisce l'esistenza di processi ben definiti.

Lezione 1 • Classificazione degli Stati

Classifica gli stati come transitori, ricorrenti o assorbenti in base alle probabilità di ritorno. La classificazione determina l'occupazione di lungo periodo e gli esiti di assorbimento.

Lezione 2 • Analisi dell'Assorbimento e del Primo Passaggio

Calcola le probabilità di assorbimento e i tempi attesi di raggiungimento utilizzando sistemi lineari. Questi calcoli sono essenziali per le applicazioni di affidabilità e teoria delle code.

Lezione 3 • Distribuzioni Stazionarie e Limite

Deriva le condizioni per l'esistenza e l'unicità delle distribuzioni stazionarie. Collega la teoria ergodica alle interpretazioni di frequenza di lungo periodo.

Lezione 4 • Reversibilità e Bilanciamento Dettagliato

Introduce le catene temporalmente reversibili e la condizione di bilanciamento dettagliato. La reversibilità semplifica il calcolo della distribuzione stazionaria in reti complesse.

Lezione 1 • Definizione e Proprietà del Processo di Poisson

Caratterizza il processo di Poisson tramite incrementi indipendenti e conteggi con distribuzione di Poisson. Si confrontano tre definizioni equivalenti per flessibilità di modellizzazione.

Lezione 2 • Teorema della Ricompensa di Rinnovamento e Applicazioni

Applica il teorema della ricompensa di rinnovamento per calcolare ricompense medie di lungo periodo per unità di tempo. Tratta l'ottimizzazione delle politiche di inventario, manutenzione e sostituzione.

Lezione 3 • Fondamenti di Teoria del Rinnovamento

Definisce i processi di rinnovamento e deriva l'equazione di rinnovamento e il teorema elementare di rinnovamento. Fornisce il quadro asintotico per l'analisi dei tassi di lungo periodo.

Lezione 4 • Sovrapposizione e Diradamento

Deriva le regole per unire e dividere processi di Poisson. Queste operazioni modellizzano l'instradamento, il multiplexing e il campionamento casuale di flussi di eventi.

Lezione 1 • Distribuzioni Stazionarie ed Ergoticità

Estende la teoria ergodica a tempo discreto al contesto a tempo continuo. Si stabiliscono le condizioni per la ricorrenza positiva e distribuzioni stazionarie uniche.

Lezione 2 • Matrice Generatrice ed Equazioni di Kolmogorov

Definisce il generatore infinitesimale e deriva le equazioni forward e backward. Queste equazioni differenziali governano l'evoluzione delle probabilità di transizione.

Lezione 3 • Tempi di Soggiorno Esponenziali e Tassi

Stabilisce che i tempi di soggiorno senza memoria seguono distribuzioni esponenziali. Questa proprietà consente la formulazione basata sul generatore delle catene a tempo continuo.

Lezione 4 • Processi di Nascita-Morte

Analizza catene con transizioni solo verso stati adiacenti, trattando modelli di popolazione e di code. Si derivano distribuzioni stazionarie in forma chiusa tramite bilanciamento dettagliato.

Lezione 1 • Definizione ed Esempi di Martingala

Definisce martingale, submartingale e supermartingale con esempi canonici. Riconoscere la struttura di martingala consente potenti scorciatoie analitiche.

Lezione 2 • Valore Atteso Condizionato e Filtrazioni

Definisce rigorosamente il valore atteso condizionato e introduce le filtrazioni come flussi informativi. Questi concetti sono alla base della definizione formale di martingala.

Lezione 3 • Tempi d'Arresto e Teorema dell'Arresto Opzionale

Definisce i tempi d'arresto e enuncia le condizioni per il teorema dell'arresto opzionale. Applica il teorema per calcolare tempi attesi di uscita e probabilità di rovina.

Lezione 4 • Teoremi di Convergenza per Martingale

Presenta la disuguaglianza delle oscillazioni di Doob e il teorema di convergenza quasi certa. Questi risultati stabiliscono quando i limiti di martingala esistono e sono integrabili.

Lezione 1 • Proprietà di Markov e di Martingala

Dimostra che il moto browniano è sia un processo di Markov che una martingala. Deriva martingale chiave, tra cui le martingale browniane esponenziale e quadratica.

Lezione 2 • Processi Gaussiani e Nuclei di Covarianza

Definisce i processi gaussiani attraverso le loro distribuzioni gaussiane finito-dimensionali. La scelta del nucleo di covarianza determina la regolarità e la struttura di correlazione.

Lezione 3 • Costruzione del Moto Browniano

Costruisce il moto browniano tramite la misura di Wiener e la costruzione di Lévy-Ciesielski. Stabilisce l'esistenza di un processo con traiettorie continue e incrementi indipendenti.

Lezione 4 • Proprietà delle Traiettorie Campionarie Browniane

Analizza la variazione quadratica, la continuità di Hölder e la legge del logaritmo iterato. Queste proprietà delle traiettorie sono essenziali per lo sviluppo del calcolo stocastico.

Lezione 1 • Teorema di Girsanov e Cambio di Misura

Enuncia il teorema di Girsanov per cambiare il drift tramite una misura di probabilità equivalente. Questo risultato è fondamentale per il pricing neutrale al rischio e i metodi del rapporto di verosimiglianza.

Lezione 2 • Metodi Numerici per SDE

Introduce gli schemi di Euler-Maruyama e Milstein per simulare soluzioni di SDE. Analizza gli ordini di convergenza forte e debole per un controllo pratico dell'errore.

Lezione 3 • Equazioni Differenziali Stocastiche

Formula le SDE e stabilisce esistenza e unicità sotto condizioni di Lipschitz. Tratta le SDE lineari e il processo di Ornstein-Uhlenbeck come esempi canonici.

Lezione 4 • Formula di Ito e Cambio di Variabili

Deriva la formula di Ito come regola della catena stocastica per funzioni due volte differenziabili. Applica la formula per calcolare le dinamiche di processi trasformati.